Относительные группы гомологий строятся для пары $(X, A)$, где $A$ — подпространство пространства $X$. Группа относительных цепей $C_n(X, A)$ является фактор-группой $C_n(X)/C_n(A)$. Граничный оператор переходит к классам эквивалентности, поэтому относительные цепи образуют цепной комплекс. Короткая точная последовательность $0 \to C(A) \to C(X) \to C(X, A) \to 0$ индуцирует длинную точную последовательность групп гомологий. При $A = \{x\}$ относительные гомологии пары совпадают с приведёнными гомологиями пространства $X$.

Группы цепей

Относительные группы гомологий строятся для пары пространств: топологического пространства X и его подпространства A.

Для пространства X строятся группы цепей. Для подпространства A также строятся группы цепей, но базис выбирается особым образом. При каждом n в базис включаются только те сингулярные симплексы, образы которых лежат в A.

Сингулярные симплексы

Группы цепей пространства $X$ образуют сингулярные симплексы этого пространства. Для подпространства $A \subseteq X$ берут только те сингулярные симплексы, образ которых лежит в $A$. Группа цепей, построенная таким образом, обозначается $C(A)$. Группы цепей определены как для пространства $X$, так и для его подпространства $A$.

Определение относительных цепей

Пусть $X$ — топологическое пространство, $A \subset X$. Относительная группа цепей определяется как фактор-группа

$C_n(X, A) = C_n(X) / C_n(A).$

Элементами $C_n(X, A)$ являются классы эквивалентности цепей из $C_n(X)$, где две цепи считаются эквивалентными, если их разность лежит в $C_n(A)$.

Цепной комплекс относительных цепей

Группы $C_n(X, A)$ образуют цепной комплекс. Его члены:

$\dots \rightarrow C_{n+1}(X, A) \rightarrow C_n(X, A) \rightarrow C_{n-1}(X, A) \rightarrow \dots$

Оператор границы

На этом комплексе действует граничный оператор. Чтобы определить его действие, берётся класс эквивалентности из $C_n(X, A)$ и применяется граница к его представителю.

Оператор границы на относительных цепях

Элементы группы относительных цепей являются классами эквивалентности. Для удобства класс обозначается одной буквой, что сокращает число скобок при работе с гомологиями.

Граничный оператор ∂ коммутирует с переходом к классу эквивалентности. Поэтому он действует на относительные цепи. Композиция граничных операторов равна нулю, и относительные цепи образуют цепной комплекс.

Оператор, действующий на классы эквивалентности, и граничный гомоморфизм цепного комплекса для подпространства A являются разными операторами.

Относительная группа гомологий пары (X, A) определяется как ядро оператора ∂ по образу оператора ∂ следующей размерности, то есть ker ∂ₙ / im ∂ₙ₊₁, где ∂ действует на относительных цепях.

Рассматривается класс α, принадлежащий n-й группе гомологий.

Относительная цепь пространства A

Пусть элемент $a$ принадлежит $n$-й группе цепей пространства $X$, и относительная цепь $a$ представляет некоторый класс гомологий.

Если граница $\partial_n a$ равна нулю, то $a$ является циклом. Такая цепь тривиальна по модулю $A$. В этом случае сама граница $\partial_n a$ принадлежит $(n-1)$-й группе цепей пространства $A$.

Далее рассматривается случай, когда относительная цепь $a$ представляет тривиальный класс в гомологиях. Тогда существует элемент $b$ из группы $(n+1)$-цепей пространства $X$, для которого выполняется равенство $a = \partial_{n+1} b.$

Если два класса эквивалентности совпадают, они отличаются на элемент группы цепей пространства $A$. Иными словами, относительная цепь представляется в виде $a = \partial_{n+1} b + c,$ где $c$ принадлежит $n$-й группе цепей пространства $A$.

Следующим шагом определяется короткая точная последовательность комплексов.

Короткая точная последовательность комплексов

Рассматривается последовательность цепных комплексов

0 → C(A) → C(X) → C(X, A) → 0,

где C(A) — цепной комплекс пространства A, C(X) — цепной комплекс пространства X, а C(X, A) — относительный цепной комплекс. Крайние члены последовательности равны нулю.

Отображение i из C(A) в C(X) является обычным включением. Отображение j из C(X) в C(X, A) является факторотображением.

Предполагается, что образ отображения i равен ядру отображения j.

Короткая точная последовательность цепных комплексов требует большего, чем равенство образа одного отображения ядру следующего. Дополнительное условие в данном фрагменте сформулировано не полностью: изложение прерывается на этом месте.

Коммутативность диаграммы

Отображения между цепными комплексами должны коммутировать с граничными операторами в каждом из комплексов. Это условие проверяется непосредственно, и оно выполняется.

Ранее было доказано следующее утверждение. Если задана короткая точная последовательность цепных комплексов, то существует длинная точная последовательность групп их гомологий. Она имеет вид

$\dots \to H_n(A) \to H_n(X) \to H_n(X, A) \to H_{n-1}(A) \to \dots$

В этой последовательности гомоморфизм, обозначенный символом D, связывает группы гомологий соседних членов.

Действие D на классах гомологий

В прошлом занятии рассматривался класс гомологий $c \in H_n(X, A)$. Его представителем служит цепь $C \in C_n(X)$.

Известно, что отображение $\iota$ является эпиморфизмом. Из этого факта предполагается вывести дальнейшее утверждение о действии $D$ на классах гомологий, однако рассуждение в данном фрагменте не завершено.

Существование элемента B

Выбор элемента B

Рассматривается элемент B, принадлежащий группе цепей C_n, для которого ι(B) = C. Здесь C — цикл, представляющий класс гомологии, а ι — отображение, которое ставит в соответствие элементу B его класс эквивалентности.

В качестве B можно взять сам элемент C. Тогда при факторизации элементу B соответствует класс эквивалентности, содержащий C.

Действие оператора границы

Для выбранного элемента B оператор границы ∂ дает ∂B. Из выбора B следует, что ∂B принадлежит ядру отображения ι. Это ядро совпадает с образом включения, поэтому ∂B равно образу некоторого элемента A из C_{n-1}.

Если взять B = C, то ∂B = ∂C = 0, поскольку C представляет класс гомологии. Таким образом, для B = C выполняется равенство ∂B = 0.

Связь с относительными цепями

Ранее было доказано, что для такого элемента A выполняется ∂A = 0. Элемент A можно выбрать из тех, с помощью которых определяется действие оператора ∂.

Оператор ∂ действует на элементы группы как граница. Поэтому классу C ставится в соответствие класс гомологии, которому отвечает элемент ∂C.

Относительная цепь определяется условием: ее граница попадает в подпространство A. Пара (X, A) и факторгруппа по A связаны именно этим условием.

Следующие шаги

Для дальнейшего доказательства требуются две леммы: лемма о расщеплении и лемма о пяти гомоморфизмах. Сначала разбирается лемма о расщеплении.

Расщепление абелевых групп

Рассматривается короткая точная последовательность абелевых групп. Все группы в этой последовательности абелевы, а сама последовательность точна.

Второе утверждение

Для короткой точной последовательности абелевых групп или модулей $0 \to A \to B \to C \to 0$ следующее утверждение эквивалентно предыдущему.

Существует гомоморфизм из $B$ в $A$, композиция которого с отображением из $A$ в $B$ является тождественным отображением $A$. Такой гомоморфизм называют левым обратным к вложению $A$ в $B$.

Второе условие: существует гомоморфизм из $C$ в $B$, композиция которого с отображением из $B$ в $C$ является тождественным отображением $C$. Этот гомоморфизм является правым обратным к проекции $B$ на $C$.

Третье условие: существует изоморфизм между $B$ и прямой суммой $A \oplus C$.

Композиция отображений и коммутативная диаграмма

Рассматривается диаграмма, которая должна быть коммутативной. Её образуют нулевая группа, группа A, группа B, группа A + C, группа C и снова нулевая группа. Отображение F между группами является изоморфизмом. Коммутативность означает, что композиция F и I равна H. Композиция K и F равна J.

Отображения действуют следующим образом. Гомоморфизм H сопоставляет каждому элементу a группы A пару (a, 0). Гомоморфизм K сопоставляет паре (a, c) элемент c.

Обозначение B уже занято другим объектом диаграммы, поэтому надпись на стрелке записана неверно. Корректное утверждение состоит в существовании изоморфизма.

Указанные утверждения эквивалентны. Эквивалентность можно доказать разными способами.

Построение отображения F и I из A в A+C

Рассматривается короткая точная последовательность абелевых групп $0 \to A \xrightarrow{I} B \xrightarrow{J} C \to 0$, а также отображение $P\colon B \to A$, для которого $P \circ I = \mathrm{id}_A$. Требуется показать равносильность трёх утверждений о существовании и свойствах таких отображений.

Отображение F

Определим отображение $F\colon B \to A \oplus C$ правилом $F(b) = (P(b), J(b))$. Элемент $b \in B$ сначала переходит в пару $(P(b), J(b))$, а затем выбирается первая компонента пары.

Композиция отображений $P$ и $I$ равна тождественному отображению $\mathrm{id}_A$, поскольку $P \circ I = \mathrm{id}_A$. Композиция $F \circ I$ равна отображению $H\colon A \to A \oplus C$, которое переводит $a$ в пару $(a, 0)$. Подстановка $a \in A$ в проекцию на первую компоненту даёт $a$, то есть проекция на первый множитель тождественна на $A$.

Аналогично доказывается, что из третьего утверждения следует второе.

Ядро F

Пусть $b \in B$ таков, что $P(b) = 0$ и $J(b) = 0$. Из точности последовательности в точке $B$ следует, что $b$ лежит в образе $I$. Значит, существует $a \in A$, для которого $I(a) = b$.

Применим $P$ к равенству $I(a) = b$. Получим $a = P(b) = 0$. Тогда $b = I(0) = 0$. Ядро $F$ тривиально, и $F$ инъективно.

Сюръективность F

Пусть $(a, c) \in A \oplus C$. Поскольку $J$ сюръективно, существует $b \in B$ с $J(b) = c$. Положим $b' = b + I\bigl(a - P(b)\bigr).$

Так как $J \circ I = 0$, имеем $J(b') = J(b) = c$. Далее, $P(b') = P(b) + P(I(a - P(b))) = P(b) + (a - P(b)) = a$. Следовательно, $F(b') = (a, c)$, и $F$ сюръективно.

Итак, $F$ является изоморфизмом. Этим доказано, что из третьего утверждения следует первое.

Эквивалентность утверждений

Из первого утверждения следует третье. Второе утверждение эквивалентно третьему. Отсюда вытекает эквивалентность первого и второго.

Если последовательность точная, то выполняются все три утверждения одновременно. Если верно хотя бы одно из них, верны и остальные. Все три утверждения эквивалентны.

Обозначения и коммутативность диаграммы

Рассматриваются две точные последовательности абелевых групп. Группы первой последовательности обозначены как A', B', C', D', E'. Между ними заданы гомоморфизмы, среди которых F, G, H, J, а также R, S, T, U. Гомоморфизмы между группами, расположенными в соседних позициях, обозначены как L, M, N, P, Q.

Все группы абелевы. Обе последовательности точны. Диаграмма, составленная из этих групп и гомоморфизмов, коммутативна.

Утверждается следующее: если гомоморфизмы M и P являются изоморфизмами, то при выполнении указанных условий делается вывод о гомоморфизме в центральной позиции. Формулировка в данном фрагменте не завершена, поэтому её окончание здесь не приводится.

Доказательство сюръективности (эпиморфизм L)

Свойства отображений

Отображение L является эпиморфизмом, то есть сюръективным отображением. Отображение Q является мономорфизмом, то есть инъективным отображением. Гомоморфизмы M и P являются изоморфизмами.

Ядро Q равно нулю, а образ L равен H'.

Изоморфизм центрального гомоморфизма

Отображения L и Q, а также изоморфизмы M и P, задают условия, при которых центральный гомоморфизм N является изоморфизмом. Оба изоморфизма, упомянутых выше, и приводят к выводу, что N является изоморфизмом.

План доказательства

Сначала доказывается, что N сюръективен. Инъективность N доказывается аналогично.

Для доказательства сюръективности N достаточно рассмотреть только часть диаграммы.

Доказательство инъективности

Инъективность доказывается по схеме, которая отличается от доказательства сюръективности. Рассуждение устроено в обратном направлении.

Рассмотрим элемент C' группы цепей C'. Применим к нему отображение T и обозначим результат как T(C').

Отображение P сюръективно. Поэтому существует элемент D группы D, для которого P(D) = D'. Иначе говоря, P(D) = T(C').

Образ T совпадает с ядром U. Следовательно, U(T(C')) = 0.

Далее используется коммутативность диаграммы. Элемент D, введённый на предыдущем шаге, связан с отображениями Q и I. Выполняется равенство Q(I(D)) = U(P(D)).

Точная последовательность и связь гомологий

Элемент P(D) равен T(C'), и этот элемент равен нулю. Отсюда следует, что U(ι(D)) = 0.

Отображение U имеет тривиальное ядро. Поэтому ι(D) = 0, и D принадлежит ядру ι.

По точности последовательности образ H совпадает с ядром ι. Значит, D лежит в образе H. Следовательно, существует элемент C из группы C такой, что h(C) = D.

Далее рассматривается T(C'). Так как T(C') = P(D), а P(D) = P(h(C)), из коммутативности диаграммы получаем T(C') = T(n(C)).

Отображение T является гомоморфизмом. Поэтому T(C' − n(C)) = 0. Иными словами, элемент C' − n(C) принадлежит ядру T.

Коммутативность и изоморфизм гомоморфизмов

Образ и ядро

Образ отображения s совпадает с ядром отображения t. Поэтому существует элемент b′ из группы B′, для которого выполняется равенство s(b′) = c′ − n(c).

Использование изоморфизма m

Отображение m является изоморфизмом, а значит, и эпиморфизмом. Следовательно, существует элемент b из группы B такой, что m(b) = b′.

Далее используется коммутативность диаграммы. Из неё следует равенство s(m(b)) = n(g(b)). Поскольку m(b) = b′, получаем s(b′) = n(g(b)).

Сравнивая два выражения для s(b′), получаем:

c′ − n(c) = n(g(b)).

Отсюда c′ выражается через элементы b и c:

c′ = n(g(b)) + c.

Так как n является гомоморфизмом, сумма n(g(b)) + c записывается в виде, указанном выше.

Обратное утверждение

Аналогично доказывается обратное утверждение. Предполагается, что некоторый элемент c отображается в ноль. Из этого предположения выводится, что сам элемент c равен нулю. Рассуждение в другую сторону проводится по той же схеме.

Приведённые гомологии

Далее рассматриваются приведённые гомологии. Их обсуждали на прошлом занятии. Этот раздел объявлен важным для понимания материала, поэтому к нему предлагается вернуться и восстановить определения.

Приведённые гомологии и цепные комплексы

Определение через аугментированный комплекс

Приведённые гомологии определяются как гомологии аугментированного цепного комплекса. Аугментация задаётся гомоморфизмом $\varepsilon$, который отображает нульмерные цепи в $\mathbb{Z}$.

Короткая точная последовательность аугментированных комплексов

Рассматривается короткая точная последовательность аугментированных цепных комплексов. Для пары $(X, A)$ фактор-комплекс $C(X)/C(A)$ при добавлении аугментации даёт $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ в нулевой степени, что равно нулю. Гомоморфизм, порождённый аугментацией, является фактор-отображением.

Последовательность обладает следующими свойствами:

• она остаётся цепным комплексом;
• она точна;
• диаграмма коммутирует с граничными гомоморфизмами.

Короткая точная последовательность цепных комплексов индуцирует длинную точную последовательность групп гомологий. Для приведённых гомологий эта последовательность имеет вид:

$\dots \to \tilde H_n(A) \to \tilde H_n(X) \to H_n(X, A) \to \tilde H_{n-1}(A) \to \dots$

Приведённые гомологии точки

Пусть $A$ состоит из одной точки $x \in X$. Обычные сингулярные гомологии точки равны $\mathbb{Z}$ при $n = 0$ и равны нулю при $n > 0$. Если добавить аугментацию, то приведённые гомологии точки тривиальны для всех $n \geq 0$.

Поскольку последовательность точна и приведённые гомологии точки равны нулю, для любого $n \geq 0$ выполняется изоморфизм

$\tilde H_n(X) \cong H_n(X, A).$

Таким образом, при $A = \{x\}$ относительные гомологии совпадают с приведёнными гомологиями пространства $X$.

Альтернативное определение относительных гомологий

Относительные гомологии иногда определяют иначе, а именно путём модификации исходного цепного комплекса.

Приведённые гомологии точки и длинная последовательность

Приведённые гомологии как относительные

Приведённые гомологии пространства X совпадают с относительными гомологиями пары (X, x₀), где x₀ — точка пространства X.

Связь обычных и приведённых гомологий

Для n > 0 приведённые гомологии совпадают с обычными: H̃ₙ(X) ≅ Hₙ(X).

Для n = 0 выполняется соотношение H₀(X) ≅ H̃₀(X) ⊕ ℤ.

Длинная последовательность пары (X, x₀)

Рассмотрим длинную точную последовательность пары (X, x₀). Гомологии точки равны нулю при n ≥ 1, поэтому при n ≥ 2 гомологии точки зануляются. Тогда Hₙ(X) ≅ Hₙ(X, x₀), а эти группы изоморфны приведённым гомологиям.

Случай n = 1 требует отдельного рассуждения. Пусть r: X → {x₀} — ретракция, а i: {x₀} → X — включение. Ограничение r на точку является тождественным отображением, поэтому r ∘ i = id. Следовательно, композиция индуцированных отображений r∗ ∘ i∗ тождественна на H₀(точки) = ℤ. Значит, i∗ инъективен.

Отображение i∗ инъективно, поэтому образ гомоморфизма границы ∂ равен ядру i∗, то есть нулю. Из точной последовательности получаем, что H₁(X) ≅ H₁(X, x₀).

Общий факт используется здесь дважды. Если композиция f ∘ g инъективна, то g инъективен. Доказательство проводится от противного: если g не инъективен, то две различные точки переходят в одну, и их образы under f тоже совпадают, поэтому композиция не инъективна.

Для n = 0 выписывается короткая точная последовательность 0 → H₀(точка) → H₀(X) → H₀(X, x₀) → 0. По лемме о расщеплении существует r∗, для которого r∗ ∘ i∗ = id. Тогда H₀(X) ≅ H₀(точка) ⊕ H₀(X, x₀). По определению H₀(X, x₀) = H̃₀(X), а H₀(точка) = ℤ. Отсюда H₀(X) ≅ H̃₀(X) ⊕ ℤ.

Теорема вырезания

Первая формулировка. Пусть Z ⊂ A ⊂ X, причём замыкание Z содержится во внутренности A. Тогда включение (X − Z, A − Z) → (X, A) индуцирует изоморфизм групп гомологий Hₙ(X − Z, A − Z) ≅ Hₙ(X, A).

Вторая формулировка. Пусть A и B — подпространства X, а внутренности A и B покрывают X. Тогда включение (B, A ∩ B) → (X, A) индуцирует изоморфизм Hₙ(B, A ∩ B) ≅ Hₙ(X, A) для всех n ≥ 0.

Обе формулировки эквивалентны. Во второй версии достаточно положить B = X − Z.

Теорема вырезания доказывается здесь без доказательства. Рассматривается её применение.

Приведённые гомологии объединения с конусом

Пусть CA — конус над A, а X ∪ CA получено склеиванием X и CA по A. Тогда приведённые гомологии X ∪ CA изоморфны гомологиям пары (X, A):

H̃ₙ(X ∪ CA) ≅ Hₙ(X, A).

Доказательство проводится в два шага.

1. Рассматривается длинная точная последовательность пары (X ∪ CA, CA). Конус стягиваем и гомотопически эквивалентен точке, поэтому его гомологии тривиальны. Следовательно, H̃ₙ(X ∪ CA) ≅ Hₙ(X ∪ CA, CA).

2. Обозначим вершину конуса через v. По первой формулировке теоремы вырезания

Hₙ(X ∪ CA, CA) ≅ Hₙ(X ∪ CA − v, CA − v).

Удаление вершины не меняет гомотопический тип. Пространство X ∪ CA − v деформационно ретрагируется на X, а CA − v деформационно ретрагируется на основание A. Поэтому Hₙ(X ∪ CA − v, CA − v) ≅ Hₙ(X, A).

Изоморфизм между всеми этими группами следует из леммы о пяти. Соответствующие группы слева и справа изоморфны, поэтому и средний изоморфизм выполняется.

Свойство продолжения гомотопии

Пара (X, A) обладает свойством продолжения гомотопии, если для любого непрерывного отображения F: X → Z и любой гомотопии f_t: A → Z, для которой f₀ совпадает с F|A, существует гомотопия F_t: X → Z такая, что F₀ = F и F_t|A = f_t для всех t.

Свойство упрощает вычисление гомологий пар. Пары с этим свойством называются хорошими. К ним относятся:

• клеточные пары (CW-пары);
• NDR-пары.

NDR-пара (A ⊂ X) определяется так. A замкнуто в X, и существует открытая окрестность U пространства A такая, что A является строгим деформационным ретрактом U. Строгий деформационный ретракт — это такой деформационный ретракт, при котором точки A остаются неподвижными на протяжении всей гомотопии.

Если пара (X, A) обладает этим свойством, то факторпространство X/A гомотопически эквивалентно X ∪ CA.

Пары с этим свойством встречаются часто, поскольку на практике обычно работают с клеточными парами. Для пар без этого свойства, например для букета, гомологии тоже вычисляются. Свойство продолжения гомотопии лишь упрощает доказательства и даёт дополнительные результаты.

Корасслоения

Пусть (X, A) — корасслоение. Тогда фактор-отображение (X, A) → (X/A, точка) индуцирует изоморфизм групп гомологий:

Hₙ(X, A) ≅ H̃ₙ(X/A).

Это следует из предыдущей теоремы. Поскольку X ∪ CA гомотопически эквивалентно X/A, получаем Hₙ(X, A) ≅ H̃ₙ(X ∪ CA) ≅ H̃ₙ(X/A).

Изоморфизм надстройки

Надстройка над X — это пространство SX = X × I с факторизованными верхним и нижним основаниями. Иногда отрезок берут как [−1, 1], чтобы свести работу к конусам.

Приведённые гомологии надстройки изоморфны приведённым гомологиям исходного пространства со сдвигом на единицу:

H̃ₙ(SX) ≅ H̃ₙ₋₁(X).

Доказательство проводится так. Конус CX стягиваем, поэтому его гомологии зануляются. Из длинной точной последовательности пары (CX, X) получаем Hₙ(CX, X) ≅ H̃ₙ₋₁(X). Пара (CX, X) является корасслоением, поэтому Hₙ(CX, X) ≅ H̃ₙ(CX/X). Факторпространство CX/X гомотопически эквивалентно надстройке SX.

Гомологии сфер

Из изоморфизма надстройки следует, что сфера Sⁿ является n-кратной надстройкой над S⁰. Гомологии S⁰ вычисляются непосредственно. Далее гомологии сфер Sⁿ находятся по индукции с помощью соотношения H̃ₙ(SX) ≅ H̃ₙ₋₁(X).