Множество идемпотентов алгебраической полугруппы замкнуто, поскольку каждый идемпотент задаётся полиномиальным уравнением $e^2 = e$. Для алгебраического моноида группа обратимых элементов открыта и является алгебраической группой.

Определение алгебры и ассоциативного умножения

Доклад опирается на результаты двух статей Мишеля Брина, которые состоят из двух частей.

Алгебраическая полугруппа — это алгебраическое многообразие $S$ с умножением, которое является морфизмом и ассоциативно. Произведение элементов $x$ и $y$ записывается без знака: $xy$.

Алгебраический моноид — это алгебраическая полугруппа, в которой существует нейтральный элемент относительно умножения. Если нейтральный элемент существует, он единственный.

Алгебраические группы и уравнения

Алгебраическая группа и обратное отображение

Алгебраическая группа есть группа, в которой каждый элемент обратим. Отображение взятия обратного элемента является морфизмом. По памяти докладчика, в книге Бингли есть упражнение, в котором утверждается, что морфизм обращения выполняется автоматически. Если все элементы группы обратимы, то для доказательства используется то, что обращение является морфизмом, и свойство прообраза.

Идемпотенты в полугруппе

Элемент $e$ полугруппы $S$ называется идемпотентом, если $e^2 = e$. Через $E(S)$ обозначается множество всех идемпотентов в $S$.

Множество $E(S)$ замкнуто в $S$. Оно задаётся уравнениями $e^2 = e$, левые и правые части которых являются полиномиальными функциями от $e$.

Пример: проекторы

Пусть $S$ есть полугруппа всех матриц относительно умножения. Тогда идемпотенты в $S$ суть матрицы $P$, для которых $P^2 = P$. Такие матрицы называются проекторами. Это матрицы линейных отображений, которые проецируют пространство на некоторое подпространство вдоль другого подпространства.

Замечания об идемпотентах

Утверждения об идемпотентах зачастую сложны, поэтому далее они оформляются как замечания. Первое замечание касается гомоморфизма полугрупп.

Идемпотенты и подполугруппы

Пусть φ: A → B — гомоморфизм полугрупп. Это отображение, согласованное с умножением: φ(ab) = φ(a)φ(b) для любых a, b ∈ A.

При гомоморфизме образ идемпотента является идемпотентом. Пусть e — идемпотент в A, то есть e·e = e. Тогда φ(e) = φ(e·e) = φ(e)·φ(e), откуда следует, что φ(e) — идемпотент в B.

Прообраз любого элемента x ∈ B является подполугруппой в A тогда и только тогда, когда x — идемпотент. Действительно, если a и b лежат в φ⁻¹(x), то φ(ab) = φ(a)φ(b) = x·x. Для того чтобы ab также принадлежало φ⁻¹(x), требуется x·x = x, то есть x должен быть идемпотентом.

Фиксированные элементы и примеры

Условие замкнутости и подполугруппа

Зафиксируем множество X′ и потребуем, чтобы оно было подполугруппой. Это означает следующее: произведение любых двух элементов X и Y, которые переходят в X′, также переходит в X′. Отображение φ является гомоморфизмом по определению, поэтому φ(XY) = φ(X)·φ(Y). Поэтому требуется, чтобы выполнялось равенство, связывающее X³ с X′, в котором речь идёт о тройном произведении элементов.

Идемпотенты и их прообразы

Идемпотенты выделяются тем, что их прообразы не совпадают с множествами A и B, где A является полугруппой.

Определение идеала

Подмножество полугруппы называется идеалом, если его умножение на элементы полугруппы S с одной стороны остаётся внутри этого подмножества. Если выполняется условие для обеих сторон, идеал называется двусторонним.

Трудность с факторизацией идеала

Факторизация идеала вызывает наибольшую трудность при работе с этим материалом.

Односторонние идеалы и нейтральный элемент

Теория полугрупп ближе к алгебраической геометрии, чем теория групп. Односторонние идеалы, связанные с идемпотентом, делятся на левые и правые. Какой из них какой, в записи не уточняется.

Пусть $e$ — идемпотент полугруппы $S$. Рассматриваются два односторонних идеала: $Se$ и $eS$. Множество $Se$ состоит из произведений $xe$ по всем $x \in S$, а $eS$ — из произведений $ex$ по всем $x \in S$. Множество $eSe$ состоит из произведений $exe$. Для обозначения используются нижние индексы: $S_e$, ${}_eS$ и ${}_eS_e$ соответствуют указанным множествам. Одностороннее умножение на $S$ даёт идеал, а одностороннее умножение на $e$ такого свойства не имеет.

Элементы из этих множеств выделяются тем, что для них $e$ является нейтральным. Если $x = xe$, то $x \in Se$. Если $x = ex$, то $x \in eS$. Элемент, для которого $e$ нейтрален с обеих сторон, удовлетворяет равенству $x = ex = xe$. Такой элемент принадлежит $eSe$. Обратно, каждый элемент $eSe$ обладает этим свойством, поскольку $e$ идемпотентен.

Множество $eSe$ является подполугруппой с единицей $e$. Если $T$ — любой подмоноид полугруппы $S$ с нейтральным элементом $e$, то $T \subseteq eSe$. Нейтральный элемент подмоноида сам является идемпотентом, так как $e \cdot e = e$. Следовательно, $eSe$ — максимальный подмоноид с нейтральным элементом $e$. Для односторонних множеств $Se$ и $eS$ нейтральность $e$ выполняется только с одной стороны.

В качестве примера рассматривается идемпотентная матрица блочного вида: на диагонали стоят единичные и нулевые блоки. Её квадрат равен ей самой. Если умножить произвольную матрицу слева или справа на такую матрицу, остаётся только блок, соответствующий единицам. Эта часть является моноидом с нейтральным элементом $e$. Утверждается, что любой подмоноид матриц содержится в $eSe$ для некоторого идемпотента $e$, не обязательно имеющего указанный блочный вид.

Для подмножества $eSe$ с нулевой или тривиальной структурой умножения справедливо следующее. Если взять два элемента $x$ и $y$ из этого подмножества, их произведение равно $y$. Таким образом, подмножество является подполугруппой с тривиальным правым умножением.

Говорится также об утверждении про линейные системы. По словам автора, оно считается доказанным, а доказательство проводится строго, без опоры на интуицию. Формулировка утверждения в записи не полностью восстанавливается.

Множества $Se$, $eS$ и $eSe$ используются для понимания структуры $S$. Отображение $x \mapsto xe$, то есть умножение справа на $e$, имеет образ $Se$. Этот образ автор назвала особым термином, однако запись прервана до его называния.

Ретракции и проекции

Ретракция отображает множество на его подмножество. Элементы подмножества при этом остаются на месте, а все остальные элементы склеиваются в подмножество.

Формально ретракция множества X на подмножество S определяется условием r(x) = x для любого x из S.

Ретракцию можно сравнить с проекцией. Ретракция является проекцией без линейной составляющей.

Ретракция, заданная на полугруппе, не обязана сохранять её структуру. Такое отображение является ретракцией множеств, но не полугрупп. Если отображение сохраняет умножение, оно является ретракцией полугрупп.

Если элемент уже имеет вид xe, где e — идемпотент, то умножение на e его не меняет: (xe)e = xe.

Ретракция является левым обратным к вложению подмножества S в X. Называть её обратным отображением некорректно, поскольку вложение, как правило, не обратимо.

Идеалы и отображения

Односторонний обратный элемент и множество eS

Рассматривается множество eS, где e — идемпотент полугруппы S. Умножение задаётся в максимальном подмоноиде с нейтральным элементом. Условие, сформулированное для e, определяет структуру этого множества.

eS как идеал и отображение

Множество eS является идеалом в S. Далее рассматривается отображение, которое задаёт на eS структуру полугруппы.

Замкнутость eS относительно умножения

Возьмём два элемента ex и ey из eS. Их произведение равно exey. Этот результат умножается справа на e. Поскольку e — идемпотент, его можно заменить на e в данном выражении.

Гомоморфизмы полугрупп

Отображение является гомоморфизмом полугрупп. Этот вывод следует из предыдущих рассуждений. Далее в пересказываемом фрагменте речь переходит к примеру, однако изложение примера в этом отрезке не приведено.

Пример с произвольной матрицей

Рассматривается произвольная матрица, записанная в блочном виде (A B; C D). Пусть S обозначает множество таких матриц. Если умножить матрицу из S на идемпотент вида e₀₀, результатом становится матрица вида (a 0), где a зависит от исходной матрицы.

Отображение φ, построенное этим способом, не является гомоморфизмом полугрупп. Произведение двух матриц из образа φ не сохраняет нужный вид, поэтому условие гомоморфизма не выполняется.

Ситуация меняется, если ограничиться подмножеством матриц вида (a 0). На этом подмножестве отображение φ является гомоморфизмом полугрупп.

Слоем над идемпотентом E служат матрицы вида e₀₀. Именно такие матрицы при умножении слева на выбранный идемпотент не изменяют исходную матрицу A. Если умножить одну такую матрицу на другую такую же, результатом снова будет матрица того же вида, то есть произведение равно первому сомножителю.

Для этого множества выполняются равенства, которые задают правый ноль и левый нейтральный элемент. Далее предполагается доказательство соответствующей теоремы.

Существование идемпотентов в полугруппах

Докладчик утверждает, что в любой полугруппе есть идемпотенты, но тут же уточняет: в общем случае это неверно. Пример: натуральные числа со сложением образуют полугруппу, в которой сумма n + n никогда не равна n. Значит, идемпотентов в ней нет.

Для алгебраических групп существует доказательство существования идемпотентов. По словам докладчика, оно очень похоже на задачу для алгебраических полугрупп.

При доказательстве важно не записывать равенство степеней элемента A вида A^k = A^n и не умножать обе части на обратный элемент.

Вне алгебраического случая идемпотенты могут отсутствовать.

Докладчик намерен доказать результат только над полем нечётной характеристики. По его мнению, это ограничение не повлияет на изложение.

Замкнутость относительно умножения

Поле и характеристика

Утверждение формулируется над алгебраически замкнутым полем. По словам докладчика, оно верно над любым алгебраически замкнутым полем, независимо от характеристики. Он отмечает, что не помнит точно, нужен ли учёт характеристики. Возможно, произвольный случай сводится к нечётной характеристике, однако для этого требуются сложные аргументы, и он их не разбирает.

Редукция к полугруппе без собственных замкнутых подполугрупп

Пусть $S$ — полугруппа, в которой ищется идемпотент. Докладчик утверждает, что можно считать, что $S$ не содержит собственных замкнутых подполугрупп.

Обоснование проходит по шагам. Если в $S$ есть замкнутая подполугруппа $S_1$, переходим к ней. Если в $S_1$ есть замкнутая подполугруппа $S_2$, переходим к $S_2$. Процесс продолжается, пока есть собственные замкнутые подполугруппы. Он конечен, поскольку алгебраические многообразия удовлетворяют условию обрыва убывающих цепочек. На последнем шаге получается подполугруппа, не содержащая собственных замкнутых подполугрупп. Если в ней есть идемпотент, то он принадлежит и исходному множеству.

Плотность степеней элемента

Пусть $x$ — произвольный элемент $S$. Рассмотрим подполугруппу, порождённую степенями $x$. Её замыкание является замкнутой подполугруппой $S$. Поскольку собственных замкнутых подполугрупп нет, замыкание совпадает с $S$. Значит, множество степеней $x$ плотно в $S$.

Та же логика применяется к замыканию любого множества, замкнутого относительно умножения: оно также замкнуто относительно умножения.

Плотность сдвига $yS$

Пусть $y$ — произвольный элемент $S$. Множество $yS$ замкнуто относительно умножения: произведение $ys_1 \cdot ys_2$ равно $y\,(s_1 y s_2)$, что снова лежит в $yS$. Поэтому замыкание $yS$ является замкнутой подполугруппой. Так как собственных таких подполугрупп нет, $yS$ плотно в $S$.

Конструктивность $yS$ и пересечение с плотными множествами

Множество $yS$ является образом морфизма умножения слева на $y$. Образ морфизма конструктивен, поэтому он содержит непустое открытое подмножество. Докладчик указывает, что для групп эта схема не работает. В группе умножение на $y$ является автоморфизмом, и его образ совпадает со всей группой. В полугруппе такой обратимости нет.

Итак, $yS$ содержит непустое открытое подмножество и при этом плотно в $S$. Плотное множество пересекается с любым непустым открытым множеством. Следовательно, эти два множества имеют общую точку.

Далее докладчик формулирует утверждение о существовании для любых $X$ и $Y$ такого номера $n$, что $X$ принадлежит соответствующему множеству. В записи это утверждение не завершено.

Конструктивность и плотность множеств

Разложение S по слоям

Множество S представляется как объединение слоёв S_N, где N пробегает натуральные числа. Слой S_N состоит из всех таких элементов x, что степень x^N принадлежит заданному множеству. Объединение всех слоёв совпадает с S.

Конструктивность слоёв

Каждый слой S_N конструктивен. Обоснование такое. Рассмотрим прямое произведение, в котором лежит множество всех пар (x, y) с условием x^N = y. Это множество образует нужную часть произведения. Его проекция на первую компоненту и есть S_N. Образ при морфизме конструктивен, поэтому S_N конструктивно.

Лемма о счётном объединении

Далее используется лемма, доказательство которой приводится позднее. Пусть многообразие представлено как счётное объединение конструктивных множеств. Тогда одно из этих множеств содержит непустое открытое подмножество. Применительно к данной ситуации это даёт следующее: существует N, для которого S_N содержит непустое открытое подмножество U.

Вложенность слоёв

Слои вложены друг в друга. Если элемент принадлежит S_N, то он принадлежит и S_{N+1}. Таким образом, S_N ⊆ S_{N+1}. Говорящий отмечает, что это упрощает задачу, однако сама по себе вложенность не решает вопрос.

Счётное поле и контрпример

Для счётного поля лемма в описанной форме неверна, даже при условии вложенности слоёв. Пример: если прямая над счётным полем представлена как счётное объединение точек, то на каждом конечном шаге получается конечное множество (одна точка, две точки, три точки и т. д.), а объединение всех шагов даёт всю прямую. Поэтому для счётного поля выводу о непустом открытом подмножестве в данном виде опираться нельзя.

Плотность степеней и пересечение с открытым множеством

Для открытого подмножества U из непустого открытого множества берётся другое плотное множество. Оно имеет вид {x^{Nm} : m ∈ ℕ}. Это множество плотно в S. Поскольку U открыто и непусто, а множество плотно, они пересекаются. Существует такое m, что x^{Nm} лежит в U, а значит, и в S_N. Далее в рассуждении требуется уточнить, что означает принадлежность x^{Nm} слою S_N, однако эта часть доказательства в данном фрагменте не приводится.

Коммутативность и степени

Чтобы найти идемпотент, элемент s в степени m обозначается буквой S. Тогда S^(m−1)·Z = S^(2m−2)·Z для некоторого Z. Из этого равенства следует, что рассматриваемый элемент является идемпотентом, поскольку он совпадает со своим квадратом.

Обоснование опирается на коммутативность. Степени одного элемента коммутируют между собой. Если рассматриваемое множество плотно, то его замыкание коммутативно. Поэтому можно с самого начала считать группу коммутативной.

Понятия коммутанта в данном контексте не используется.

Далее правая часть равенства преобразуется. Из неё берётся средний множитель, который заменяется выражением S^m. Затем последний множитель S заменяется тем, что стоит справа. Цель преобразования состоит в том, чтобы получить элемент, равный квадрату самого себя.

Индукцией по размерности доказывается лемма, на которой основано это рассуждение. Для неравенства m ≥ 1 требуется отдельное пояснение, и оно не приводится.

Локально замкнутые части и размерность

Сведение к локально замкнутым частям

Конструктивное множество по определению является объединением локально замкнутых множеств. Поэтому каждое конструктивное множество можно заменить множеством его локально замкнутых частей.

Переход к неприводимым компонентам

Каждое локально замкнутое множество можно заменить его неприводимыми компонентами. Таким образом, достаточно рассматривать локально замкнутые неприводимые множества.

Переход к замкнутым множествам

Каждое такое множество можно заменить его замыканием. По утверждению докладчика, это не меняет рассуждения.

Переход к неприводимому множеству

Далее множество X можно считать неприводимым. Для этого переходят от X к открытому подмножеству, которое содержит только одну неприводимую компоненту. В результате достаточно доказать, что X совпадает с одним из рассматриваемых множеств.

Индукция по размерности

Доказательство ведется индукцией по размерности X.

• Размерность 1. Замкнутые подмножества X в этом случае либо конечны, либо совпадают с X. Поскольку рассматриваемое множество не конечно и не совпадает с X, такие множества не могут быть представлены указанным образом.
• Размерность больше 1. Множество X пересекают с гиперповерхностью Y, которая содержит не все компоненты X. Пересечение задает представление Y в меньшей размерности. По предположению индукции это представление невозможно, что дает противоречие.

Докладчик отметил, что существует второе доказательство этого результата, которое приведено в другом месте.

Переход идемпотентов при гомоморфизме

Условие на подмножества

Для формулировки нужно, чтобы рассматриваемые подмножества не совпадали с Y. Иначе говоря, Y не должно содержаться в X.

Следствие для сюръективных гомоморфизмов

Следствие является усилением утверждения первого замечания. Оно относится к случаю, когда гомоморфизм φ сюръективен. В этом случае идемпотенты переходят в идемпотенты.

Следствие получается комбинацией доказанной теоремы и двух утверждений первого замечания.

Пусть e — идемпотент подполугруппы B. По теореме у подполугруппы A существует идемпотент, который переходит в e. Таким образом, для каждого идемпотента образа найдётся идемпотент-прообраз.

Это рассуждение опирается на алгебраичность полугрупп. Для произвольных полугрупп утверждение может не выполняться.

Примеры

Вложение натуральных чисел в целые числа не даёт сюръективного отображения. Нулевой элемент целых чисел не имеет прообраза среди натуральных чисел, поэтому идемпотент 0 не покрывается.

Отображение натуральных чисел в Z_p, которое сопоставляет число его остаток по модулю p, является гомоморфизмом. Оно сюръективно на Z_p. Этот пример признан убедительным.

Замечание о компонентах

Далее речь идёт о компонентах. Формулировка замечания в данном фрагменте не приведена.

Связность и алгебраические полугруппы

Для связных компонент картина в алгебраических полугруппах устроена не так просто, как в алгебраических группах. Однако близкая конструкция работает.

Любое конечное множество является алгеброй. Любая абстрактная конечная полугруппа является алгебраической. Обратное тоже верно: для любой алгебраической полугруппы можно рассмотреть множество её связных компонент.

На этом множестве естественно ввести структуру полугруппы. Чтобы умножить две компоненты связности, берут их представителей и перемножают. Образ связного множества связен, поэтому произведение лежит целиком внутри одной компоненты связности. Именно эту компоненту и объявляют образом.

Таким образом, на множестве компонент связности возникает естественная структура полугруппы. Существует также каноническое отображение: каждому элементу сопоставляется его компонента связности. Это отображение является гомоморфизмом.

С неприводимыми компонентами такая конструкция не работает. Для иллюстрации рассматривается полугруппа, которая является моноидом.

Примеры с матрицами и нулевыми элементами

Множество матриц с ограниченным числом ненулевых элементов

Рассматриваются матрицы, в каждой строке и в каждом столбце которых не более одного ненулевого элемента. Такие матрицы похожи на перестановочные, но допускаются вырожденные матрицы, а ненулевые элементы могут быть любыми, не обязательно равными 0 или 1. Произведение матриц контролируется так: строки результата определяются левым сомножителем, столбцы определяются правым.

Множество таких матриц замкнуто относительно умножения и образует полугруппу. Обнуление ненулевых элементов также допускается.

Неприводимые компоненты

По словам говорящей, у данного множества имеется n! неприводимых компонент. Они соответствуют перестановкам из симметрической группы S_n и диагональным матрицам D_n, включая вырожденные.

Каждая компонента задаётся набором позиций, на которых может стоять ненулевой элемент. На всех остальных позициях стоят нули. Каждая неприводимая компонента изоморфна аффинному пространству соответствующей размерности. Например, если выбраны три позиции, то в них записываются любые три числа. Компонента изоморфна аффинному пространству как многообразие.

Максимальные компоненты соответствуют заполнению позиций, в которых в каждой строке и каждом столбце стоит ровно один элемент. Компонента с меньшим числом позиций получается из этих подмножеств, и эти подмножества включаются в максимальные.

Связность

Все неприводимые компоненты пересекаются в нулевой матрице. Поэтому множество образует одну компоненту связности, хотя число неприводимых компонент равно n!.

Гомоморфизмы

Гомоморфизм, который переводит компоненты в компоненты по определённому правилу, не определяется однозначно. Причина в том, что нулевой элемент принадлежит всем компонентам, и неясно, в какую из компонент связности должен отображаться ноль.

Образ неприводимого множества при гомоморфизме остаётся неприводимым. Он лежит ровно в одной неприводимой компоненте. Поэтому образ полугруппы остаётся полугруппой.

Предложение без доказательства

Говорящая собиралась сформулировать предложение без доказательства. Оно связано с группой S_m. Формулировка в расшифровке не завершена.

Неприводимые компоненты и гомоморфизмы

Множество неприводимых компонент может быть группой $S_N$, то есть симметрической группой степени $N$. Гомоморфизма с такими свойствами не существует, потому что у части элементов число значений при действии операции больше одного.

Неприводимая компонента, содержащая единицу, определена однозначно. Для алгебраического моноида она является единственной неприводимой компонентой.

Формулировка теоремы об открытой группе

Пусть $G_M$ — группа обратимых элементов моноида $M$. Теорема утверждает, что $G_M$ открыта в $M$ и является алгебраической группой. Доказательство приводится без изложения, так как его рассмотрение заняло бы слишком много времени. По словам докладчицы, доказать этот факт нетрудно.

Теорема уже формулировалась в других докладах докладчицы. В неприводимом случае её доказал Риттаторе. Для приводимого случая результат, насколько понимает докладчица, принадлежит Брну. Брн отмечает, что его рассуждение почти完全 совпадает с рассуждением Риттаторе. Докладчица указывает, что Брн прямо не пишет о тождественности рассуждений, но подтверждает их близость.

В качестве примера рассматривается множество всех матриц. Фрагмент, посвящённый этому примеру, в исходном материале обрывается.

Прообраз единицы и приводимая компонента

Прообраз единицы при умножении

Рассмотрим множество пар $(x, y)$ таких, что $xy = 1$. Проекция этого множества на первую компоненту совпадает с множеством обратимых элементов. Говорящая отметила, что образ отображения в данном случае и есть искомое множество, и поставила под сомнение, будет ли оно открытым.

Утверждение о том, что единица всегда лежит в одной неприводимой компоненте, остаётся открытым вопросом. Говорящая сформулировала его как предмет проверки. Для неприводимой компоненты, содержащей единицу, открытость множества обратимых элементов в ней обсуждалась. Переход к другим компонентам и умножение обратимых элементов на них не получили полного доказательства: обоснование того, что произведение элемента из одной компоненты с обратимыми элементами остаётся обратимым в другой компоненте, в записи не завершено.

Левые и правые обратные

Первое утверждение говорит: если у элемента $x$ есть левый обратный $y$ ($yx = 1$), то $x$ обратим. Доказательство проводится так. Пусть $xz = 1$ — правый обратный. Тогда $y = y(xz) = (yx)z = z$, откуда $x$ обратим.

Из этого следует, что левое умножение на $x$ является инъективным отображением. Говорящая сослалась на теорему Бореля: инъективный эндоморфизм алгебраического многообразия в себя сюръективен. Она отметила, что для нормальных многообразий инъективный морфизм является изоморфизмом. Условие нормальности в формулировке теоремы у Бореля говорящая не проверила. Эндоморфизм в данном случае является сюръективным, но не обязательно изоморфизмом, так как обратное отображение не строится.

Необратимые элементы как двусторонний идеал

Второе утверждение говорит: множество $M \setminus G$, где $G$ — группа обратимых элементов, является двусторонним идеалом. Пусть $x$ необратим, а $y$ — произвольный элемент. Допустим, что $xy$ обратим, с обратным $z$. Тогда $x(yz) = 1$, то есть у $x$ есть правый обратный, и по первому утверждению $x$ обратим. Противоречие. Аналогично для $yx$.

Говорящая назвала $M \setminus G$ наибольшим собственным двусторонним идеалом. Третье утверждение, по её словам, следует из второго и той же теоремы Бореля. Подробного вывода в записи нет.

Идемпотенты и группы

Единица является единственным идемпотентом в любой группе. Если в моноиде $M$ есть идемпотент $e$, отличный от единицы, то $e$ лежит в $M \setminus G$. Поэтому моноид, у которого единица — единственный идемпотент, является группой.

Говорящая привела пример: алгебраическая группа с добавленной границей. В матричных моноидах такие ситуации встречаются. Границу она описала как множество необратимых элементов моноида.

Порядок на идемпотентах

Для идемпотентов $e$ и $f$ вводится отношение: $e \le f$ тогда и только тогда, когда $ef = fe = e$. Это частичный порядок. Если $e \le f$, то $e = fef$, поэтому $e$ лежит в $fSf$, и множество $eS$ содержится в $fSf$.

Множества вида $eS$ и $Se$ замкнуты, так как задаются уравнениями. При $e \le f$ соответствующие замкнутые множества вложены друг в друга в обратном порядке: $eS \subseteq fSf$. Из этого следует, что в каждом убывающем цепочке замкнутых множеств существует минимальный элемент среди идемпотентов.

Для существования максимального элемента говорящая ввела другие замкнутые множества, которые вкладываются в порядке, противоположном порядку идемпотентов. Она отметила, что доказательство формулировалось без полной проверки всех деталей.

Утверждение о минимальном элементе: идемпотент $e$ минимален тогда и только тогда, когда $eSe$ является группой. Из минимальности $e$ следует, что внутри $eS$ нет других идемпотентов. Если в моноиде нет идемпотентов, кроме $e$, то по предыдущему пункту моноид является группой.

Максимальные подмоноиды, содержащие единицу $e$, соответствуют максимальным подгруппам. Говорящая утверждает, что существует биекция между множеством $E(S)$ и множеством максимальных подгрупп. Она также отметила, что каждая подгруппа лежит в некотором максимальном подмоноиде с той же единицей. Для этого рассматривается множество $eS \cap Se$ с единицей $e$, которое содержит группу обратимых элементов. Точная формулировка соответствия в записи не зафиксирована.

Коммутативный случай

Если $S$ коммутативна, то произведение двух идемпотентов является идемпотентом. Минимальный элемент тогда единственен. Если бы было два различных минимальных элемента, то они бы оба были меньше каждого идемпотента, что противоречит минимальности.

Для конечности числа идемпотентов в коммутативном случае рассматривается гомоморфизм $S \to E(S)$. Прообраз каждого идемпотента является подполугруппой. Если в каждом прообразе конечное число идемпотентов, то конечно и число идемпотентов в каждой компоненте связности. Говорящая сводит задачу к связной полугруппе $S$, для которой группа обратимых элементов в $xS$ состоит из одного элемента $x$. Из этого она делает вывод о конечности, но завершить рассуждение в записи не удалось.

Переход идемпотентов при гомоморфизме

Образ идемпотента при гомоморфизме полугрупп является идемпотентом. Прообраз идемпотента является подполугруппой. Эти свойства используются в доказательстве конечности и в описании компонент связности.

Многообразие идемпотентов и его компоненты

Пусть $M$ — моноид, $G$ — его группа обратимых элементов. Множество идемпотентов $E(M)$ является аффинным многообразием. Говорящая утверждает, что его неприводимые компоненты являются классами сопряжённости относительно $G$, то есть орбитами действия $G$ на $E(M)$ сопряжениями. Компоненты не пересекаются.

Размерности компонент могут различаться. Точки и прямые встречаются как компоненты, а единица всегда образует изолированную точку. Гладкость множества идемпотентов доказывается через морфизм из прямого произведения подходящих многообразий в окрестность заданной точки и сравнение размерностей касательных пространств. Говорящая указала, что эта проверка громоздка.

Гладкость множества идемпотентов не является общим свойством. Если взять негладкое многообразие $X$ и задать умножение $xy = y$, то каждый элемент становится идемпотентом, и множество идемпотентов совпадает с $X$, то есть не является гладким.

Примеры в матрицах

В моноиде матриц $M_n$ нулевая матрица является минимальным идемпотентом и единственным минимальным, а единица — максимальным. Группа обратимых элементов в этом моноиде равна $GL_n$. Для матриц рассматриваются множества вида $eS$ и $Se$ для идемпотентов $e$, и их свойства совпадают с описанными выше.